Die Gauß-Krüger-Abbildung ist eine transversale (querachsige) Zylinderprojektion. Dabei werden Punkte eines die Erdfigur beschreibenden Ellipsoids auf einen elliptischen Zylinder abgebildet, der das Ellipsoid entlang eines Meridians, auch als Bezugsmeridian (Berührmeridian) bezeichnet, berührt.

Die Abbildung erfolgt winkeltreu, d.h. der Winkel am Ellipsoid erscheint auch in der Projektion mit dem gleichen Wert. Längentreu wird nur der Berührmeridian abgebildet. Die Streckenverzerrung $\delta L$ nimmt mit dem Quadrat des Abstands vom Bezugsmeridian zu. Um sie gering zu halten, wird jeweils nur ein schmaler Streifen beiderseits des Bezugsmeridians abgebildet. Die Abbildung erfolgt jeweils 1,5° (das entspricht ca. 112,2 km) westlich und östlich eines Bezugsmeridians, die Streckenverzerrung in diesem Abstand beträgt bereits etwa 15cm pro Kilometer. Die gesamte Streifenbreite beträgt 3°.

$$ \delta L = \frac{y_{m}^{2}}{2R_{m}^{2}} $$

$y_{m}$ ist der Abstand zum Mittelmeridian, R ist der mittlere Krümmungsradius

Ferro (heute El Hierro) ist die westlichste der Kanarischen Inseln im Atlantischen Ozean und wird seit der Antike als Bezugsmeridian verwendet. Zuletzt wurde seine Lage mit genau 20° westlich der Sternwarte Paris festgelegt. Da die Seemacht Großbritannien bei der Herstellung von Seekarten führend war, setzte sich schließlich bei Seekarten der Nullmeridian Greenwich durch. Erst 1884 wurde der Bezugspunkt Greenwich international als Empfehlung vereinbart, verbindlich wurde er dann auf der internationalen Weltkartenkonferenz 1913. Während sich Deutschland im Zuge der Umstellung auf das Gauß-Krüger-System 1923 auf den Bezugsmeridian Greenwich bezog, behielt Österreich den Bezugsmeridian Ferro bei. Beim Umstieg auf Greenwich wären vier Meridianstreifensysteme notwendig gewesen, durch den Bezug zu Ferro kommt man mit insgesamt drei Meridianstreifensysteme (28°, 31° und 34° östl. von Ferro) für ganz Österreich aus. Zur eindeutigen Zuordnung der Lage eines Punktes ist deshalb zusätzlich zu den Koordinaten auch die Angabe des Meridianstreifens (M28, M31 oder M34) erforderlich. Die geographische Länge bezogen auf Ferro entspricht der geographischen Länge bezogen auf Greenwich zuzüglich 17°40' Längendifferenz.

Gemäß Vermessungsgesetz (VermG) und zugehöriger Vermessungsverordnung (VermV) ist das System MGI mit der Abbildung Gauß-Krüger für alle Belange des Katasters (Festpunkte, Katastralmappe, Vermessungsurkunden, etc.) anzuwenden. Vor der Umstellung der Landkartenwerke des BEV auf UTM war die Gauß-Krüger Abbildung auch die Grundlage der Kartendarstellung des BEV.

Die senkrechte Achse (Abszissenachse) ist das Abbild des jeweiligen Bezugsmeridians und wird mit x bezeichnet. Die waagrechte y-Achse (Ordinatenachse) ist das Abbild des Äquators. Beim Anschreiben der Koordinaten wird in der Regel zuerst der y-Wert und dann der x-Wert angegeben.

Der entlang der Abszisse gemessene Abstand vom Äquator liegt für sämtliche x-Werte innerhalb des österreichischen Staatsgebiets über 5.000.000 Meter. Deshalb werden oft bei der Koordinatenangabe die 5 Mio. nicht angeschrieben und der x-Wert nur mit sechs Stellen vor dem Komma angegeben.

Berechnung des Hochwerts x:

$$ x=B^{ \varphi } + \frac{ N }{ 2 } \Delta\lambda^{2}sin\varphi cos\varphi + \frac{ N }{ 24 } \Delta\lambda^{4}sin\varphi cos^{3}\varphi (5-t^{2} +9\eta^{2} + 4\eta^{4})+ $$

$$ \frac{ N }{ 720 } \Delta\lambda^{6}sin\varphi cos^{5}\varphi (61-58t^{2} + t^{4})+\frac{ N }{ 40320 } \Delta\lambda^{8}sin\varphi cos^{7}\varphi (1385-3111t^{2} + 543t^{4}-t^{6}) $$

Berechnung des Rechtswerts y:

$$ y=N \Delta\lambda cos\varphi + \frac{ N }{ 6 } \Delta\lambda^{3}cos^{3}\varphi (1-t^{2} +\eta^{2})+ $$

$$ \frac{ N }{ 120 } \Delta\lambda^{5}cos^{5}\varphi (5-18t^{2} + t^{4}+14\eta^{2}-58\eta^{2}t^{2})+\frac{ N }{ 5040 } \Delta\lambda^{7}cos^{7}\varphi (61-479t^{2} + 179t^{4}-t^{6}) $$

Das jeweils letzte angegebene Glied der Gleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden. Hilfsgrößen:

$$ t=tan\varphi, \eta^{2}=e^{'2} cos^{2}\varphi, e^{'2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}} $$

$B^{ \varphi }$ ist die Länge des Meridianbogens ([m])

$$ B^{ \varphi }= \alpha\varphi°-\beta sin2\varphi+\gamma sin4\varphi-\delta sin6\varphi $$

mit

$$\alpha=\frac{Aa(1-e^{2})}{\rho°} mit \rho°=\frac{180}{\pi}, e^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}$$ $$\beta=\frac{B}{2}a(1-e^{2})$$ $$\gamma=\frac{C}{4}a(1-e^{2})$$ $$\delta=\frac{D}{6}a(1-e^{2})$$

$$A=1+\frac{3}{4}e^{2}+\frac{45}{64}e^{4}+\frac{175}{256}e^{6}+\frac{11025}{16384}e^{8}+\frac{43659}{65536}e^{10}+\ldots$$ $$B=\frac{3}{4}e^{2}+\frac{15}{16}e^{4}+\frac{525}{512}e^{6}+\frac{2205}{2048}e^{8}+\frac{72765}{65536}e^{10}+\ldots$$ $$C=\frac{15}{64}e^{4}+\frac{105}{256}e^{6}+\frac{2205}{4096}e^{8}+\frac{10395}{16384}e^{10}+\ldots$$ $$D=\frac{35}{512}e^{6}+\frac{315}{2048}e^{8}+\frac{31185}{131072}e^{10}+\ldots$$

z.B. für das Bessel-Ellipsoid:

$$\alpha=111 120.61962\frac{m}{°}$$ $$\beta=15 988.6385m$$ $$\gamma=16.7300m$$ $$\delta=0.0218m$$

$$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_{ 0 }$$

$\lambda_{ 0 }$ ist die geographische Länge des Bezugsmeridians der Abbildung. Im Falle des österreichischen Landessystems (Bessel) sind dies die Meridiane 28°, 31° und 34° im System Ferro ( $\lambda_{Ferro}- \lambda_{Greenwich} = 17 ° 40 '$ ), im Falle von UTM sind dies die Meridiane 9° und 15 ° im System Greenwich.

Berechnung der geographischen Breite $\varphi$:

$$\varphi=\varphi_{ X } + \frac{ y^{2} t }{ 2N^{ 2 } } \left( -1-\eta^{ 2 } \right) + \frac{ y^{4} t }{24N^{ 4 } } \left( 5 + 3t^{ 2 }+6\eta^{ 2 }-6t^{ 2 }\eta^{ 2 }-3\eta^{ 4 }-9t^{ 2 }\eta^{ 4 } \right) +$$ $$ \frac{ y^{ 6 }t }{720N^{ 6 } } \left( -61-90t^{ 2}-45t^{ 4 }-107\eta^{ 2 }+162t^{ 2 }\eta^{ 2 }+45t^{ 4 }\eta^{ 2 } \right) +\frac{ y^{ 8 }t }{ 40320N^{ 8 } } \left( 1385 + 3633t^{ 2 } + 4095t^{ 4 } + 1575t^{ 6 } \right) $$

Berechnung der geographischen Länge $\lambda$:

$$ \lambda = \lambda_{ 0 } + \frac{ y }{ Ncos\phi_{ x } } + \frac{ y^{ 3 } }{ 6N^{ 3 }cos\varphi_{ X } } \left( -1 - 2t^{ 2 }-\eta^{ 2 } \right) + $$ $$ \frac{ y^{ 5 } }{ 120N^{ 5 }cos\varphi_{ X } } \left( 5 + 28t^{ 2 } + 24t^{ 4 } + 6\eta^{ 2 } + 8t^{ 2 }\eta^{ 2 } \right) + \frac{ y^{ 7 } }{ 5040N^{ 7 }cos\varphi_{ X } } \left( -61 - 662t^{ 2 } - 1320t^{ 4 } - 720t^{ 6 } \right) $$

Das jeweils letzte angegebene Glied der Gleichungen kann für die GK-Abbildung vernachlässigt werden.

Hilfsgrößen

$$t=tan\varphi, \eta^{2}=e^{'2} cos^{2}\varphi, e^{'2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}}$$

Normalkrümmungsradius $N=\frac{c}{V}$ mit $c=\frac{a^{2}}{b}$ und $V=\sqrt{1+\eta^{2}}$

$\varphi_{ X }$ wird auch als Fußpunktsbreite bezeichnet, und ist die geogr. Breite für den Meridianbogen mit der Länge x (x-Komponente der GK-Koordinate). Die Bestimmung erfolgt iterativ.

$$\varphi_{ X }=\frac{B^{\varphi}}{\alpha}+\frac{\beta}{\alpha} sin2 \varphi-\frac{\gamma}{\alpha}sin4\varphi+\frac{\delta}{\alpha} sin6\varphi$$

Die Beschreibung der Koeffizienten siehe weiter oben.

$\lambda_{ 0 }$ ist die geographische Länge des Bezugsmeridians der Abbildung. Im Falle des österreichischen Landessystems (Bessel) sind dies die Meridiane 28°, 31° und 34° im System Ferro ( $\lambda_{Ferro}- \lambda_{Greenwich} = 17 ° 40 '$ ), im Falle von UTM sind dies die Meridiane 9° und 15 ° im System Greenwich.

UTM steht für _Universal Transverse Mercator_, und ähnelt in ihrer Definition der Gauß-Krüger-Abbildung. Das Ellipsoid GRS80 wird auch hier auf einen transversalen, berührenden Zylinder abgebildet. Die für die UTM-Projektion eingesetzten Formeln sind mit jenen der Gauß-Krüger-Abbildung bis auf einen zusätzlich eingeführten Maßstab identisch. Dieser Maßstab dient dazu, die sich durch die größere Streifenbreite (6° statt 3° bei GK) ergebenden Verzerrungen klein zu halten. Geometrisch ergibt sich daraus, das der Zylinder das Ellipsoid entlang zweier zum Mittelmeridian parallelen Schnittellipsen schneidet. Entlang dieser Parallelen ist die Streckenverzerrung null, entlang des Mittelmeridians beträgt der Maßstabsfaktor 0.9996.

Das internationale UTM-System überdeckt die Erde mit 60 Meridianstreifensystemen mit je einer Längenausdehnung von 6°. Der Bezugsmeridian der Längenangaben ist Greenwich. Die Mittelmeridiane der als Zonen bezeichneten Streifensysteme liegen bei 3°, 9°, 15° usw. östlicher und westlicher Länge. Die Zonen sind durchlaufend von West nach Ost nummeriert, beginnend bei dem Mittelmeridian 177° westlicher Länge. Innerhalb jeder Zone werden in Nord-Süd-Richtung Bereiche von 8° Breitenunterschied gebildet, welche, beginnend bei 80° südlicher Breite, mit großen Buchstaben von „C“ – „X“ (ohne „I“ und „O“) bezeichnet werden.

Österreich wird zur Gänze von den beiden Zonen 32, mit dem Mittelmeridian bei 9° östlicher Länge (M09), und Zone 33, mit dem Mittelmeridian bei 15° östlicher Länge (M15), abgedeckt.

Sämtliche Kartenwerke des BEV beziehen sich heute auf das Koordinatensystem ETRS89 mit der Abbildung UTM.

Easting (E) und Northing (N) ist die internationale Bezeichnung für den Rechtswert (RW) und den Hochwert (HW) der UTM-Abbildung. Eine Additionskonstante von 500.000 wird am Rechtswert angebracht, um immer positive Werte zu bekommen.

Zur Abbildung nach UTM sind grundsätzlich die selben Formeln wie für die Gauß-Krüger-Abbildung zu verwenden, dass Ergebnis ist aber noch mit einem Massstabsfaktor von 0.9996 zu multiplizieren. Eine Additionskonstante wird am Rechtswert angebracht, um immer positive Werte zu bekommen.

Easting(E) = y * 0.9996 + 500000

Northing(N) = x * 0.9996

Als Bezugsmeridian $\lambda_{0}$ gelten in Österreich Zone 32 (Mittelmeridian 9° östlich von Greenwich) und Zone 33 (Mittelmeridian 15° östlich von Greenwich)

Zur Bestimmung von geographischen Koordinaten aus UTM Koordinaten sind grundsätzlich die selben Algorithmen wie bei der Gauß-Krüger-Abbildung zu verwenden, die UTM-Koordinaten müssen aber vorab in eine andere Form gebracht werden.

y = (Easting(E) – 500000) / 0.9996

x = Northing(N) / 0.9996